viernes, 4 de junio de 2010

Finito

No creo en el infinito. No creo que exista en ningún sentido fuerte.

Esta negación, aplicada al mundo, no hace más que recoger lo que dice la física contemporánea: ni el espacio ni el tiempo son infinitos. Tampoco son infinitamente divisibles. A gran escala el universo se curva y se cierra sobre sí mismo. En las pequeñas, todo se convierte en espuma.

Es verdad que hay especulaciones cosmológicas que hablan de universos nacidos de universos en una secuencia sin fin. Pero estas especulaciones, tan alejadas de la corroboración empírica que rayan en lo metafísico, hablan en cualquier caso de universos tan ajenos entre sí que toda influencia causal entre ellos es imposible. En este sentido, postular su existencia no es muy distinto que postular que vivimos sumergidos en una burbuja de aparente orden en medio de un completo caos.

Tampoco creo en el infinito matemático. Esto no quiere decir que no me fascinen las “terribles dinastías” de números transfinitos que creara Cantor, o que no aprecie la genialidad del cálculo infinitesimal. Lo que quiero decir es que el infinito matemático me parece una ficción más ficción que otras ficciones matemáticas.

Me explico: de entre las variadas formas de entender la matemática, aquella con la que más me identifico es con el ficcionalismo. Según este punto de vista de la filosofía matemática, los objetos matemáticos son ficciones, como lo son Ana Karenina o los unicornios, y su utilidad en las ciencias físicas tiene mucho que ver con la capacidad explicativa de la novela de Tolstoi respecto de la psicología humana. Nada en la novela es real, se trata de una ficción. Sin embargo, nos permite comprender aspectos del comportamiento humano. Así es la matemática: algunas de sus teorías, adecuadamente adobadas con interpretaciones físicas, funcionan experimentalmente. Genial. Otras, como las malas novelas, no nos dicen nada de nada.

Ana Karenina es tan ficcional como los unicornios. Pero, mientras que al leer sobre la primera nos parece estar viendo la vida, las aventuras de los unicornios tan solo nos dan placer. Ana Karenina no existió, pero lo parece. Los unicornios, por su parte, nunca han existido, salvo en nuestra imaginación.

Los números naturales, pongamos del 1 al 10000000000, son ficciones: no hay números por ahí pegados a las cosas como etiquetas. Sin embargo, convenientemente interpretados, los números nos ayudan a manejarnos con una realidad abarrotado de colectividades. Al infinito hay que reconocerle su utilidad en el cálculo. Sin embargo, también nos da una idea equivocada del mundo y sus entidades y nos sumerge en paradojas, en extraños reinos donde todo es posible, incluido imaginar una lista infinita con todas las afirmaciones sobre la aritmética en la que, sin embargo, faltan algunas.

Ana Karenina es una ficción, sí, pero más lo es el unicornio. Pues eso pienso del infinito respecto de otras ficciones matemáticas.

Termino con una reflexión lingüística: el infinito es, como muchos otros conceptos del estilo, un gigante con pies de barro, porque no surge por un proceso de abstracción, sino de negación. No es a base de ver montones de entidades infinitas como llegamos a la conclusión de que existe algo así como la infinitud, sino que es a partir del concepto de finitud como llegamos, por negación, a lo infinito. No tenemos referentes, nada lo sugiere, solo ese salto mortal que es negar un concepto. Hasta el unicornio tiene más sentido: a fin de cuentas, al imaginar un caballito con cuerno de narval y barbas de chivo no estamos negando nada.


26 comentarios:

  1. Engels,(Anti-Dühring 1878):
    "(...)Por lo demás, el señor Dühring no logrará jamás llegar a pensar sin contradicción la infinitud real. La infinitud es una contradicción y está llena de contradicciones. Es ya una contradicción el hecho, que realmente se da, de que una infinitud este formada por una serie de finitudes. La limitación del mundo material lleva a contradicciones, ni más ni menos que su ilimitación, y todo intento de eliminar esas contradicciones lleva, como hemos visto, a nuevas y peores contradicciones. Precisamente porque la infinitud es una contradicción, constituye un proceso infinito que se desarrolla sin fin en el espacio y en el tiempo. La superación de la contradicción sería el final de la infinitud. Esto ya lo había visto Hegel muy certeramente, razón por la cual trata con el merecido desprecio a los señores que se ponen a sutilizar entorno a esta contradicción.(...)"

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  2. Se trata de un fragmento del libro de Friedrich Engels titulado "La subversión de la ciencia por el señor Eugen Dühring" más conocido como "Anti-Dühring" escrito como contestación a las tesis de dicho autor. Aquí pongo el enlace dónde puedes consultar el texto completo: http://www.marxists.org/espanol/m-e/1870s/anti-duhring/index.htm

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  3. Alberto, me ha gusta cómo está escrito el texto, aunque no comparto algunas ideas.

    Cuando dices "No creo que exista en ningún sentido fuerte" te refieres a que no hay nada en la realidad que sea infinito? No lo sabemos realmente, tal vez sí haya algo y no lo sepamos. No sé por qué esa necesidad de encontrar algo real que se corresponda con la idea de infinito. En las matemáticas sí existe el infinito (como símbolo, como concepto), ¿no es suficiente? Dices que tampoco crees en el infinito matemático, cuando en otro post demostraste que hay infinitos números naturales. Hay problemas reales que para comprenderlos y solucionarlos involucran el cálculo infinito. ¿Si no crees en él por qué lo utilizas? (seguro que lo has hecho, siendo profesor de matemáticas)

    Con el ejemplo de Ana Karenina y el unicornio mi sensación es que lo único que estás diferenciando son ficciones creíbles de las increíbles, nada más. Pero diferenciar lo que es creíble de lo que no lo es solamente depende de la experiencia de cada uno. Sin embargo los grandes avances en la ciencia y en la comprensión del universo siempre han venido de ideas que escapan de la experiencia ordinaria, ideas sorprendentes y poco intuitivas (como el propio infinito).

    Tampoco veo dónde veis todas esas contradicciones que surgen de considerar el infinito. ¿Algún ejemplo?

    Dices Alberto que llegamos al concepto de infinito mediante la negación de lo finito. No estoy seguro de que tenga que ser así necesariamente, pero la negación siempre ha sido un excelente recurso para ampliar miras. Desde mi punto de vista el concepto de infinito surge de manera natural.

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  4. Infinito es lo que no tiene fin, ¿conocemos en la realidad algo que no tenga fín?, no, además la propia pregunta encierra un contrasentido en sí misma pues para conocer algo hay que "delimitarlo", ponerle un límite, un fín, es más yo me atrevería a afirmar que en eso consiste el conocimiento, en establecer los límites de las cosas.
    Es decir que en relidad solo son cognoscibles las cosas finitas.
    Yo creo que al concepto de infinito más que por negación se llega por proyección, es decir a partir de objetos reales finitos creamos una proyección imaginaria, por ejemplo a partir de la visión de la vía del tren que sabemos que acaba en algún sitio, aunque sea a muchos kilometros de distancia, nuestra mente puede imaginarse una vía que no acabara nunca que se prolongara infinitamente, yo creo que no es necesario negar las cosas finitas para afirmar las infinitas.

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  5. Asier, me das mucho trabajo: ¡gracias!

    Con "No creo que exista en ningún sentido fuerte" quiero decir que no creo que tenga más existencia que el de una fantasía humana. Pero tienes razón: quizá no podamos saberlo. Solo podríamos negarlo encontrando una potente contradicción lógica, y aún así...
    No demostré "que hay infinitos números naturales". Solo demostré que dado uno podemos pensar en otro más grande.
    Preguntas: "¿si no crees en él por qué lo utilizas?". Porque es un aproximación muy útil a la realidad. Y porque es tremendamente divertido. También los físicos usan los espacios vectoriales y no creo que crean que de verdad las fuerzas son unas flechitas que llenan el espacio.
    "Con el ejemplo de Ana Karenina y el unicornio mi sensación es que lo único que estás diferenciando son ficciones creíbles de las increíbles". No, precisamente lo que intento diferenciar es el nivel de utilidad de las ficciones para la comprensión del mundo.
    Problemillas con el infinito:
    Paradoja de Galileo: hay tantos números pares como naturales.
    Hay tantos números racionales como naturales.
    Paradójica de Banach-Tarski: una esfera se puede descomponer en dos esferas de su mismo tamaño.
    Paradoja de Burali-Forti: Dado cualquier ordinal, siempre hay uno mayor. Pero si consideramos el conjunto de todos los ordinales, también es un ordinal, y es mayor que todos.
    Teorema de incompletitud de Gödel: la aritmética, o es incompleta (no todas sus verdades son demostrables) o inconsistente (contiene errores).
    Respeto de la negación, un cosa es negar algo y otra construir un concepto por negación. En cuanto a que el concepto de infinito surge de manera natural..., no sé, pero me parece que a los humanos nos costó bastante aceptarlo y que solo la necesidad que tuvo Newton de postularlo par equilibrar su universo le hizo popular. Pero bueno, esto es historia de la ciencia y en este terreno no me atrevo a asegurar nada.

    Almazul, muy interesante tu idea del infinito como proyección: me la apunto.

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  6. No veo la paradoja de Burali-Forti: si damos por supuesto en el enunciado del problema la existencia del "conjunto de TODOS los ordinales", estamos negando con ello la existencia del infinito y por tanto ¿si no existe el infinito dónde está la paradoja?
    Supongo que mi desconocimiento de las matemáticas me impide captar el fondo del asunto, a ver si me lo podeís aclarar un poco.

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  7. Russell hablaba sobre lo fantasioso de las matemáticas a menos que se aplicara a objetos bien definidos, luego dijo y resulto que estos nunca se pudieron definir adecuadamente. Entonces puede resultar pues que todo el conocimiento no es sino una fantasía.

    no estoy seguro, no sé si se puede llegar a saber algo en definitiva. p.ej. sobre los objetos finitos acaso no son sino proposiciónes porque aquellos objetos finitos estan cambiando (mas si cambian pierden acaso su identidad?) y no existe siquiera objeto alguno sino ideas, más las ideas son .....bueno..

    podemos contruir entonce a partir de proposiciones, o adivinanzas el mundo. Luego ponerlo a prueba, si se relaciona y resulta efectivo, como las matemáticas, pues bien, es lo más cercano que tenemos a una realidad, más como saber si en definitiva son ciertas si no se pueden comprobar más que por los mismos experimentos que nacieron de las misma concepciones. Tal vez si fuese util es verdadero, y luego si se tiene tiempo pues ya se le aplica más rigurosidad.

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  8. Almazul, por lo que dices, entiendes por infinito algo que no está acabado, pero en la corriente estándar de la matemática no es así: cuando se habla, por ejemplo, del conjunto de los números naturales, no se habla de él como algo por construir, sino como algo que ya existe en toda su infinitud. El axioma del infinito viene a decir, precisamente, que existe un conjunto que contiene al cero y al sucesor de cada uno de sus elementos. Es decir, que existe un conjunto infinito.

    rbt, estoy completamente de acuerdo contigo, salvo en un matiz: terminas diciendo que si es “útil es verdadero”. Esta es la tesis pragmatista, que no comparto porque la considero innecesaria. De la utilidad solo podemos deducir utilidad, no verdad. Pienso que en todo esto la posición más intelectualmente honesta es el agnosticismo: no sabemos nada acerca de la verdad. Solo sabemos, dados unos criterios de utilidad, si algo es útil.

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  9. He visto esto, y no me resisto a colgarlo por aquí:

    http://www.redesparalaciencia.com/3028/revista-redes/creencias-y-realidades

    ya que al fin y al cabo, viene a confirmar algo que dije aquí, je je, que es que el pensamiento "místico" no se puede sustraer del cerebro humano.

    Siento el off-topic.

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  10. Posiblemente llevemos el misticismo en los genes. Pero también llevamos la violencia en los genes y no todos nos dedicamos a dar porrazos por ahí. La lucha entre los instintos y la razón es lo que nos diferencia de los corderos: ¡esos sí que son místicos!

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  11. ¿y quién va ganando la lucha? XD

    Por cierto, otro off-topic:

    http://www.abc.es/20100602/ciencia-tecnologia-matematicas/grigori-perelman-asegura-haber-201006022037.html

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  12. Juan Antonio, el resultado de la lucha es personal. Tú sabrás cómo va lo tuyo. Lo mío va bien, gracias.

    En cuanto al off-topic sobre Perelman, ¿podrías explicitar el mensaje? Te lo digo porque, siendo que me encanta polemizar, me aburre mortalmente refutar simplezas. Así que, dime, ¿cuál es la propuesta?

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  13. Alberto, yo soy muy ignorante en matemáticas, pero me parece que el uso que hacéis los matemáticos del verbo existir no se corresponde exactamente con el uso corriente, digamos fenoménico, del mismo: al fin y al cabo, los números ni ocupan espacio ni se generan en el tiempo, como sucede con las entidades empíricas. Por lo mismo, no creo que esa existencia digamos matemática del infinito obligue a comprometerse con la infinitud del universo, como se discutía en otro post.
    Juan Antonio, no es la primera vez que insignes matemáticos han demostrado la existencia de Dios y, qué quieres que te diga, hasta ahora no he encontrado ninguna que me resulta convicente. Claro que ninguna era matematica, sino filosófica. Por otra parte, no está claro que lo que ABC dice sea lo que Perelman piensa:
    http://lacajadebajodelacam.blogspot.com/2010/06/perelman-demuestra-matematicamente-la.html
    Por lo demás, si hablar de la existencia de Dios me ha parecido siempre un contrasentido, hacerlo de la posibilidad de la prueba matemática de la existencia de Dios me resulta ya completamente absurdo, a no ser en tanto lenguaje poético.
    Saludos.

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  14. Como ya comenté en otra ocasión, la genialidad y la locura se dan la mano con bastante frecuencia y ese parece ser el caso de Perelman.
    Yo le propondría que se dedicara a probar matemáticamente cosas mucho más sencillas para un cerebro como el suyo y mucho más utiles para la humanidad como por ejemplo la posibilidad real de acabar con el hambre y la pobreza mundial en unos pocos años o la inviabilidad del sistema capitalista a medio y largo plazo.
    O la certeza matemática de que si no se toman medidas que corrijan de verdad los errores que se han cometido hasta ahora, dentro de unos años volverá a crearse otra crisis que será mucho peor que esta y de la que no nos va a salvar ni Dios.

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  15. Quisiera participar activamente activo y todos los comentarios son interesantes, atractivos, yo no se nada y MENOS de cosas con formulas o numeros, ya lo explique. No razono que hay que creer o no creer en el Infinito o lo Finito. En mi ignorancia y mi poco cerebro, yo solo asumo que el Infinito efectivamente, es algo sin FIN. Cuando converso con astronautas les pregunto, que ven en los telescopios en el Transbordador (the space shuttle) alla fuera de gases, fuera de la gravedad, en la nitidez del espacio y siempre dicen que ven otros sistemas, otros conjuntos, otras "galaxias", casi todos usan comillas, lo indican con sus dedos, cuando dicen otras "galaxias".
    Me hablan de la INmensidad de estrellas, de conjuntos de algo que a su vista en sus telescopios les parece Constelaciones. Ven INmensidad, ven el infinito sin lo finito.
    Uno de los astronautas Japoneses me dice que vivimos en la minisculidad de lo que sea una milesima de un grano, una particula de sal.
    Una pregunta que hice fue Que son los numeros para el? Para este Japones, Astronauta.
    Repsondio que los numeros son solo medidas, limites, un lenguaje para medir y calcular procesos, precisiones, exactitudes. Asi todo.

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  16. Solo quería dar un ejemplo de matemático-loco-excentrico, intentando conectar con un post anterior, y mi teoría sobre la predisposición, y el entorno. Y sobre que al final, para las teorías como el infinito y las creaciones cósmicas, al final hay una contra-teoría igual de válida. Sobre que haya demostrado la existencia de dios, ya sé que no es para nada original.

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  17. Albert, no hay un uso “matemático” del verbo existir porque entre los matemáticos no existe un consenso al respecto: unos opinan que los objetos matemáticos existen con independencia de las mentes que los piensan. Otros los consideran abstracciones. Otros niegan directamente su existencia. Pero esta diversidad no es distinta de la que se da en filosofía desde hace siglos entre platónicos, nominalistas, pragmatistas...

    En cuanto a que la “existencia digamos matemática del infinito obligue a comprometerse con la infinitud del universo”, estoy completamente de acuerdo. Pero si el infinito matemático tiene sentido y el universo no lo es, entonces la matemática y la realidad tienen menos que ver de lo que muchos piensan. Por ahí va la discusión.

    En cuanto al asunto Perelman, es un ejemplo perfecto de lo estúpido que es el principio de autoridad mal aplicado. Que alguien sea un genio en un campo no se contradice en absoluto con que sea un completo idiota en todo lo demás.

    Juan Antonio, no he entendido eso de “al final hay una contra-teoría igual de válida”.

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  18. Quería decir que, a nivel teórico, cuando se habla, por ejemplo, de hacia donde va el universo, si se expande o se contrae, o si hay muchos o un único universo, siempre hay teorías que hasta se contradicen, y todas son válidas, porque es imposible corroborarlas.

    Al final la elección es un acto de fe.

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  19. Sí y no. En primer lugar, la línea de demarcación entre teorías científicas (las que pueden falsarse) y teorías especulativas (las que no) no es fija, sino móvil, porque lo que hoy no puede refutarse mañana sí.

    En segundo lugar, eso de la validez hay que precisarlo, porque una teoría puede considerarse válida por dos razones fundamentales: porque da cuenta de ciertos fenómenos observables o porque nos ayude a entender mejor los fenómenos ya conocidos. Si una teoría no sirve para ninguna de esas dos cosas porque escapa por completo de nuestra capacidad de observación, hablar de validez no tiene mucho sentido. Podremos decir, como mucho, que no se contradice con lo que sabemos.

    En tercer lugar, si elegimos entre dos de estas teorías incorroborables, efectivamente se tratará de un acto de fe, pero, ¿qué necesidad hay de elegir? A mí me gusta más la teoría de los muchos mundos Everett que la del multiverso de Rees, pero no creo en ninguna de las dos.

    Oye, me he quedado sorprendido: ¿es que alguien duda de que el universo está en expansión?

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  20. Alberto, creo que sí demostraste que hay infinitos números naturales, mediante reducción al absurdo. Luego a partir de ahí planteaste a ver en qué sentido existen.

    Dices que con el ejemplo de Ana Kanerina y el unicornio "lo que intento diferenciar es el nivel de utilidad de las ficciones para la comprensión del mundo", pero ese nivel de utilidad es, como decía, completamente dependiente de la experiencia. Tu argumento parece ser: si una ficción se parece a cosas que he experimentado (es decir, si es creíble) entonces su nivel de utilidad es alto. Yo no estoy de acuerdo (no comparto) esa manera de diferenciar ficciones. Por una parte, porque una ficción que ahora mismo no tenga una existencia real, que solamente sea producto de la imaginación, no significa que en el pasado o en otro lugar no haya existido, o que en un futuro vaya a existir (precisamente por haberlo imaginado, mira por dónde). Por ejemplo, mucho antes de que se construyera la primera nave espacial, era una ficción como la del unicornio. Pero gracias a imaginarlo e intentar construirlo, ha acabado siendo algo real.

    De hecho, aunque te sorprenda, me parece más viable la existencia de un unicornio que la existencia de una mujer como Ana Kanerina con todas sus aventuras. Si manipulamos y mezclamos adecuadamente los genes de un caballo con los de un narval, por ejemplo, no me parece descabellado que dentro de no mucho la existencia de un unicornio sea viable.

    En cuanto a los problemillas con el infinito, no son tales. Las paradojas no dejan de ser aparentes contradicciones lógicas, pero solamente aparentes, por ir muchas veces contra la intuición. Si realmente la aceptación del infinito hubiese provocado una contradicción lógica, la comunidad matemática no lo hubiese aceptado y nos cuidaríamos mucho de no hacer sumas infinitas o tirar límites hacia el infinito. No quiero ponerme a rebatir de uno en uno los ejemplos que has puesto, pero todos tienen su explicación/solución correspondiente (y sospecho que ya lo sabías, je).

    En cuanto a la expansión/contracción del universo, imagino que Juan Antonio querría referirse a lo que le pueda suceder en el futuro al universo, a las teorías de que se expandirá indefinidamente frente a las que sugieren el Big Crunch.

    [Más cuestiones acerca de las existencias las dejo para el nuevo post]

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  21. Asier, está claro que no vemos las cosas ni parecidas. Muchas de los temas ya los hemos hablado y volver sobre ellos sería entrar en bucle.

    Solo una cosa: utilizas a la comunidad matemática como principio de autoridad para demostrar que todo está bien y que no tenemos problemas. Por eso, te contesto con una cita de Mary Leng, filósofa de las matemáticas:

    “En la última mitad del siglo veinte, los filósofos de las matemáticas han retrocedido de la cuestión de cómo establecer la certeza de nuestro conocimiento matemático a la cuestión de si podemos afirmar tener conocimiento matemático de alguna clase, incluso de nuestros supuestos matemáticos fundacionales.”

    Como he fracasado en transmitir el problema, espero que esto sirva para que, al menos, se sepa que tal problema existe.

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  22. Hablando de la capacidad explicativa de las ficciones propuese en una clase una frase como esta: año 2030 "el blanco unicornio pasea por la alameda desierta"... y así lo hice existir, claro. Entre otras interpretaciones por parte de los alumnos me llamó la atención que una niña me dijera que lo que ella interpretaría de esa ficción literaria es que el mundo se ha quedado vacío (por lo que sea, porque nos hemos extinguido, etc.) y lo único que se salva es algo que no existe, algo que siempre fue mitología, porque eso no había resultado afectado por el desastre. Espero que eso explique la capacidad explicativa de las ficciones. Y es muy útil. Por otro lado, alguien me dijo también que la blancura del unicornio representataba la paz o la inocencia que también habían sobrevivido, pero la capacidad explicativa de estas otras interpretaciones, por muy literaria que sea, filosóficamente es más baja.

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  23. Alberto, solamente he dicho que el aceptar el infinito no produce una contradicción lógica inaceptable (por ahora) y que por eso se acepta y utiliza. No he demostrado nada, solamente he indicado que la comunidad de los más entendidos en el asunto lo aceptan, y yo estoy de acuerdo con ellos.

    Por otra parte yo podría argumentar que tú también utilizas a ciertos filósofos matemáticos como principio de autoridad, ¿no?

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  24. Asier, yo no he utilizado el nombre de nadie para apoyar mis tesis. Cuando he citado a alguien ha sido para mostrar que el tema es, cuando menos, polémico. Y si lo he hecho es porque tú no solo has negado mis tesis, lo cual está muy bien, sino que has negado el problema en sí mismo. Entiendo que creas en el infinito y en el realismo matemático. Entiendo que eres dado a ontologías fuertes. Vale: mucha gente listísima es así. Pero negar el problema es negar la discrepancia, y la discrepancia existe. Por eso he citado a Leng.

    Ch, la interpretación de tu alumna me parece exquisita: cuando la realidad desaparece, solo queda lo irreal. Es magnífico. También lo es tu propuesta, porque muestra una de las falacias del lenguaje, la afirmación implícita de existencia. Si decimos “existen los unicornios” estamos explicitando una afirmación acerca de la existencia de tales entidades que no nos cuesta demasiado negar. Pero “el blanco unicornio pasea por la alameda desierta” da por sentado que el blanco unicornio existe pero sin decirlo, y encima le enmarca en una escena, lo cual nos hace mucho más difícil negarlo. Este es el gran truco de la novela en particular, de la ficción en general y de casi todas las mitologías.

    Amiga, sé que tú sabes todo esto: si lo cuento es por contextualizar.

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  25. Yo tampoco soy un creyente de la existencia del infinito, pero como concepto-herramienta, tal y como lo he visto utilizar en las clases de matemáticas, es extraordinariamente útil. Por otra parte, la matemática consiste en ideas y conceptos abstractos. Como tal concepto, no le encuentro mayor problema. Es más si no existiese habría que inventarlo. Tengo que decir que soy un profano en esto de las matemáticas (hice empresariales e ingeniería informática), con lo cual la matemática que he estudiado ha tenido siempre un carácter muy, llamémoslo utilitarista y además, digamos que siempre he querido más yo a las matemáticas que ellas a mi.

    Si negamos el infinito, ¿ que sucede con pi y con e ?, por ejemplo. No puedo negar que me produce cierto acojono existencial pensar que pi no existe en la naturaleza, de la misma manera que el principio de incertidumbre de Heisenberg, viene a decir que la probabilidad uno no existe, no se si me explico.

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