viernes, 3 de abril de 2009

Un problema sencillo

Llevo unos días dándole vueltas a un problemas de 2º de la ESO. Cuando se lo puse a mis alumnos pensé que podría resolverse sin demasiadas complicaciones. Difícil para ellos, pero asequible, pensé, al menos para algunos. Pero no, no lo era. Sorprendido de no encontrar ninguna forma de resolverlo que solo hiciese uso de herramientas elementales, me fui al libro del profesor para descubrir que la solución brindada no solo era bastante compleja, sino que era incorrecta.

Así que le he dedicado unas buenas horas a escribir al ordenador una resolución del problema que fuese lo más asequible posible, disminuyendo todo lo que he podido las complejidades de cálculo para que no introdujesen mayor confusión en la parte conceptual, de por sí liosa, y con un buen número de gráficos que mostrasen las figuras y datos intermedios utilizados: ya que se lo había puesto, quería que viesen una solución y, de paso, que no todos los problemas tienen soluciones sencillas.

Lo interesante del asunto es que mis cálculos en ningún momento me han llegado a convencer. Estaba quedando bien, creo que comprensible incluso para ellos, y desde luego mejor que la del libro. Sin embargo...

Hoy he dado por terminado el asunto. Contemplando mi obra, dos folios de apretados cálculos, me he puesto a pensar en alguna forma de comprobar ya no la argumentación, sino el propio resultado final. Liberado de la obligación de resolver el problema como si fuese un alumno de 2º de la ESO, he obtenido rápidamente la solución utilizando integrales (es un problema de áreas), y he comprobado con satisfacción que coincidía exactamente con la obtenida por el otro método.

Eso sí: también he sentido esa sutil insatisfacción que produce a veces el cálculo: siendo una herramienta poderosísima, nos hurta muchas veces del conocimiento del objeto de observación. En este caso concreto, tras horas de darle vueltas a la figura, he aprendido muchas cosas de todo lo que oculta, he tomado conciencia de algunas de las relaciones implícitas que se dan entre algunas de las figuras invisibles que subyacen al dibujo. He llegado a conocer la figura. Sin embargo, el cálculo no proporciona eso. Uno aplica unas reglas, obtiene la solución, y a otra cosa. Y es que a veces tenía razón aquel que decía que la matemática tiene por objetivo impedir el pensamiento racional.

De todas formas, lo más curioso ha venido después: tras comprobar la solución y escribirla cuidadosamente en el documento que estaba preparando para mis alumnos, he seguido dándole vueltas al dibujo. Es como si aquello no estuviese terminado. De hecho, me he puesto a analizarlo como si me enfrentase a él por primera vez. Dos minutos después, no más, he encontrado una solución sencilla y elegante que resuelve el asunto en apenas cuatro líneas.



10 comentarios:

  1. El área de la figura gris... sabiendo que el lado del cuadrado es 1.

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  2. Dos folios llenos de cálculos así a priori. Está claro que era una pregunta fácil. :(

    No sé si conoces esta web pero me tropecé en un blog con ella y he pensado que a lo mejor te gustaba. A mi me ha parecido una pasada:

    http://www.nanoreisen.de/espanol/index.html

    Buen finde o vacaciones o lo que sea.

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  3. La cuestión es que sí lo era, solo que a veces alcanzar la sencillez cuesta cierto esfuerzo.

    En cuanto al sitio que mencionas, no, no lo conocía, y es magnífico. Gracias.

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  4. A simple vista parece, aunque puede que solo lo parezca y haya caido en la misma trampa en la que los alumnos caen, que la respuesta sea un cuarto del area del circulo de diametro 1 pero como no se me ocurre como demostrarlo tengo que rendirme a la evidencia del esfuerzo que requiere demostrarlo.

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  5. Hum... No, no es esa la solución. Sin embargo, me llama la atención que el valor que das (pi/16) es una buena aproximación del área complementaria, es decir, el área de la región blanca. ¿Nos podrías contar tu razonamiento?

    Por cierto: la solución correcta es
    (2/3)·pi + raíz(3) - 3.

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  6. Este problema se puede resolver de una forma sencilla (a nivel de bachiller) si se plantea bien.

    Si completamos los trazos de los arcos obtenemos 9 zonas de tres tipos: llamamos A a la central, con forma de cuadrado con lados curvos en posición de rombo; B a cada uno de los triángulos de lados curvos de la zona sombreada, y C a cada uno del resto de triángulos que están sin sombrear.

    El problema que se plantea es hallar el área sombreada, es decir, el área de A+4*B. Para ello buscamos unas combinaciones de zonas de las que conozcamos o podamos calcular su superficie.

    Dos son bastante sencillas y fáciles de observar:
    [1] A+4*B+4*C=1 (área del cuadrado de lado unidad)
    [2] A+3*B+2*C=pi/4 (área de 1/4 de círculo de radio unidad)

    Para que un sistema de ecuaciones con tres incógnitas sea resoluble necesitamos una tercera ecuación que sea linealmente independiente. Pero tenemos que elegir una expresión que no tenga relación ni con el cuadrado ni con el círculo ni con partes o porciones de los mismos, porque sería una combinación lineal de alguna de las anteriores o de ambas.

    Por ello, pensando en figuras geométricas que no sean ni cuadrados ni círculos la primera que podemos probar es el triángulo. Y así, podemos describir un triángulo que tiene como base la del cuadrado, y por vértice superior el punto más alto del sector A, y tiene los lados laterales curvos, es decir, abarca un sector A, dos sectores B y uno C. Si unimos con trazos rectos Los vértices de este triángulo tenemos un triángulo equilátero cuya área es igual a: raiz(3)/4. Si unimos con líneas rectas los extremos de uno de los lados curvos con el vértice opuesto estamos delimitando un sector circular de 60º que mide un área de: pi/6. Si hacemos lo propio con el otro lado curvo obtenemos lo mismo pero como estamos usando la zona del triángulo equilátero dos veces hay que restarla del total.
    Por tanto la tercera ecuación que necesitamos es:
    [3] A+2*B+C=pi/3-raiz(3)/4

    Por no ser el objetivo del problema, no me entretengo en detalles sobre si esta ecuación es o no linealmente independiente con respecto a las anteriores, que como se ve a continuación lo es, ni porqué lo es o deja de serlo. Y sobre el resto de cálculos, para simplificar la explicación espero que tampoco haga falta desarrollar cómo se resuelve este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que tiene como solución:
    A=pi/3-raiz(3)+1
    B=pi/12-raiz(3)/2-1
    C=1-pi/6-raiz(3)/4

    Y por tanto,
    el área sombreada (A+4*B) = 2*pi/3+raiz(3)-3

    En ocasiones, con este tipo de problemas, nos cuesta encontrar una relación que sea linealmente independiente para que el sistema de ecuaciones sea resoluble, e incluso en algunas ocasiones puede que ni exista (en este caso el reto sería demostrarlo). Y el método habitual es ir probando varias alternativas hasta conseguirlo (o desistir).

    En mi caso para este problema después de un par de intentos me di cuenta que además de las dos ecuaciones iniciales ([1] y [2]), que son evidentes, utilizaba una tercera que obtenía de partes o porciones del cuadrado o circulo, y que esto siempre me daría ecuaciones linealmente dependientes. Pasados varios días me encontré con el borrador de los intentos anteriores, y tras revisarlo pensé que debía buscar una figura diferente hasta que vi dibujado el triángulo que antes he descrito. Probé y funcionó. A veces encontrar la solución a un problema es el resultado de un estudio concienzudo, pero creo que en la mayoría de las ocasiones es solo fruto de la casualidad.

    Saludos Txarli

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  7. Gracias por tu solución, Txarli: es reealmente instructiva.

    Mi solución, siendo menos algebraica y más geométrica, usa las mismas ideas, incluida la que creo clave: ese triángulo equilátero que aparece por ahí escondido. He colocado al final del post tres figuras para facilitar la explicación. Aquí va.

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    Voy a calcular el área de la superficie AEF, sombreada en la figura del centro. El área pedida será entonces la del cuadrado completo menos ocho de estas superficies.

    En la figura de la derecha se ve que AEF = CEFD – CAD – CEA, donde:

    CEFD es un rectángulo de lados 1 y 1/2.
    CAD es la mitad del triángulo equilátero ABC, de lado 1.
    CEA es un sector circular de radio 1 y ángulo beta de 30º (beta es complementario de alfa, y alfa vale 60º por ser ABC triángulo equilátero).

    Los cálculos, a partir de aquí, son triviales.
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    En cuanto a lo de la casualidad, sí, es importante, pero para que se produzca hace falta el trabajo concienzudo.
    Gracias de nuevo.

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  8. Grácias por añadir imágenes. Veo que tu solución es más sencilla de calcular e incluso de comprender para la gente poco acostumbrada a estos ejercicios.

    Creo que en muchos casos una cierta deformación académica nos hace tender a resolver los problemas por métodos algebraicos. Estos son ideales para generalizar un problema y nos sirva para solucionar otros casos. Suelen ser ilustrativos algunos ejercicios (ahora no recuerdo ninguno para ponerlo de ejemplo) que la solución algebraica es bastante compleja y laboriosa, y sin embargo el problema se puede solucionar de forma intuitiva y a veces casi por "sentido común".

    Sí, también es casualidad que nos guste hacer este tipo de ejercicios. Otros tienen otras aficiones.

    Saludos Txarli.

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  9. Tienes razón en lo de la deformación académica: a eso me refería con el comentario acerca del cálculo diferencial: disponemos de unas herramientas tan potentes para resolver ciertos problemas que, muchas veces, apenas si necesitamos ir más allá del enunciado.

    Ocurre con frecuencia que problemas que yo planteo instintivamente con ecuaciones los alumnos los resuelven con facilidad utilizando métodos puramente aritméticos. Es curioso que en tales casos, cuando previamente les pregunto por el método que han utilizado, me contestan "por lógica".

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